Concentration Inequalities for Mean Field Particle Models

This article is concerned with the fluctuations and the concentration properties of a general class of discrete generation and mean field particle interpretations of non linear measure valued processes. We combine an original stochastic perturbation analysis with a concentration analysis for triangular arrays of conditionally independent random sequences, which may be of independent interest. Under some additional stability properties of the limiting measure valued processes, uniform concentration properties with respect to the time parameter are also derived. The concentration inequalities presented here generalize the classical Hoeffding, Bernstein and Bennett inequalities for independent random sequences to interacting particle systems, yielding very new results for this class of models. We illustrate these results in the context of McKean Vlasov type diffusion models, McKean collision type models of gases, and of a class of Feynman-Kac distribution flows arising in stochastic engineering sciences and in molecular chemistry. Key-words: Concentration inequalities, mean field particle models, measure valued processes, Feynman-Kac semigroups, McKean Vlasov models. ∗ Centre INRIA Bordeaux et Sud-Ouest & Institut de Mathématiques de Bordeaux , Université de Bordeaux I, 351 cours de la Libération 33405 Talence cedex, France, [email protected] † Centre INRIA Bordeaux et Sud-Ouest & LMV Université de Versailles Bâtiment Fermat, 45 Av. des Etats-Unis, 78035 Versailles Cedex France, [email protected] in ria -0 03 75 13 4, v er si on 3 26 A pr 2 00 9 Inégalités de concentration pour des modèles particulaires de champ moyen Résumé : Nous analysons dans cet article les fluctuations et les propriétés de concentration d’une classe générale de systèmes de particules en interaction de type champ moyen et à temps discret. Ces modèles probabilistes sont liés à des interprétations particulaires de processus à valeurs mesures non linéaires. Nous développons une analyse originale fondée sur des techniques de perturbation stochastique de semigroupes non linéaires et sur un théorème de fluctuations de tableaux triangulaires de variables conditionnellement indépendantes. Dans certaines conditions de stabilité des semigroupes associés au processus limite, nous présentons des inégalités de concentration uniformes par rapport au paramètre temporel. Les inégalités de concentration développées dans cette étude sont des extensions des inégalités classiques de Hoeffding, Bernstein et de Bennett dans le cadre des sequence de variables indépendantes, à des systèmes de particules en interaction. Ces résultats semblent être les premiers de ce type pour ces classes de processus en interaction. Nous illustrons ces propriétés de concentration dans le cadre de modèles diffusifs de type McKean Vlasov, pour des modèles de collisions de type McKean issus de la mécanique des fluides, ainsi que pour une classe de modèles de Feynman-Kac utilisés en ingénierie stochastique et en chimie moléculaire. Mots-clés : Inégalités de concentration, modèles particulaires de champ moyen, processus à valeurs mesures, semigroupes de Feynman-Kac, modèles de McKean Vlasov in ria -0 03 75 13 4, v er si on 3 26 A pr 2 00 9 Concentration Inequalities for Mean Field Particle Models 3